Considere um mercado com produtos diferenciados e duas firm...
p1 = 8 − 1,5q1 + q2 p2 = 8 + q1 − 1,5q2
Onde q1 e q2 são as quantidades. Supondo que as firmas concorram em uma conjectura de Cournot, o preço de equilíbrio nesse mercado será igual a:
Para encontrar o preço de equilíbrio no mercado de Cournot, primeiro, você precisa determinar as quantidades produzidas pelas duas firmas.
Vamos encontrar as funções de reação de cada firma. A função de reação de uma firma é a quantidade que ela escolhe produzir como resposta à quantidade produzida pela outra firma, com o objetivo de maximizar seus lucros. A função de lucro de uma firma é dada por:
π1 = p1 * q1 = (8 - 1.5 * q1 + q2) * q1
π2 = p2 * q2 = (8 + q1 - 1.5 * q2) * q2
Agora, vamos derivar essas funções de lucro em relação às quantidades q1 e q2 e igualá-las a zero para encontrar as quantidades de produção de equilíbrio.
Para a primeira firma (Firma 1):
∂π1/∂q1 = 8 - 3q1 + q2 = 0
Para a segunda firma (Firma 2):
∂π2/∂q2 = 8 - 3q2 + q1 = 0
Agora, resolvemos essas duas equações simultaneamente para encontrar q1 e q2:
A partir da primeira equação:
3q1 = 8 + q2
q1 = (8 + q2)/3
A partir da segunda equação:
3q2 = 8 + q1
q2 = (8 + q1)/3
Agora temos duas equações e duas incognitas, podemos jogar uma na outra Q2 em Q1 ou inverso.
Iremos obter que Q1 = Q2 = 4
Com a quantidades definidas jogamos o valor nas equações de preço e chegamos que P1 = P2 = 6$
>> Primeiro, vamos resumir as informações do enunciado.
C1 = C2 = 0
p1 = 8 - 1,5q1 + q2
p2 = 8 + q1 - 1,5q2
Q = q1 + q2
>> No modelo de Cournot, cada firma maximiza seu respectivo lucro escolhendo sua quantidade, dada a quantidade produzida pela outra firma. As escolhas são simultâneas. Vamos montar o problema de maximização de lucro da firma 1 a partir da equação de lucro abaixo.
π1 = p1q1 - C1
π1 = (8 - 1,5q1 + q2)q1 - 0
π1 = 8q1 - 1,5q12 + q1q2
π1 = - 1,5q12 + q1q2 + 8q1
>> Para maximizar o lucro da firma 1, devemos derivar a função lucro acima e igualá-la a zero.
∂π1 / ∂q1 = 0
- 3q1 + q2 + 8 = 0
3q1 = q2 + 8
q1 = (q2 + 8) / 3 (função de reação da firma 1)
>> Vamos fazer, exatamente, o mesmo procedimento acima para a firma 2.
π2 = p2q2 - C2
π2 = (8 + q1 - 1,5q2)q2 - 0
π2 = 8q2 + q1q2 - 1,5q22
π2 = - 1,5q22 + q1q2 + 8q2
>> Percebam que as duas equações de lucro são exatamente iguais. Logo a função de reação da firma 2 será idêntica com as devidas alterações de q1 para q2.
q2 = (q1 + 8) / 3 (função de reação da firma 2)
3q2 = q1 + 8 (mesma função de reação da firma 2 só que isolando q1 em vez de q2)
q1 = 3q2 - 8
>> No equilíbrio de Cournot, as duas funções de reação se igualam, por isso isolamos q1 na função de reação da firma 2.
q1 = q1
(q2 + 8) / 3 = 3q2 - 8
q2 + 8 = 9q2 - 24
8q2 = 32
q2 = 4
>> Agora, basta encontrarmos q1, substituindo em qualquer das funções.
q1 = 3q2 - 8
q1 = 3(4) - 8
q1 = 12 - 8
q1 = 4
>> Portanto, no equilíbrio de Cournot, com a igualdade das funções de reação, as duas firmas produzirão igual quantidade (4). Para finalizar, vamos substituir as quantidades em uma das demandas inversas.
p1 = 8 - 1,5q1 + q2
p1 = 8 - 1,5(4) + 4
p1 = 8 - 6 + 4
p1 = 6 = p2 = P
>> Logo, o preço de equilíbrio nesse mercado será igual a 6,0.
GABARITO DO PROFESSOR: LETRA D.
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