Questões de Concurso Comentadas sobre equações polinomiais em matemática

Sejam os polinômios P(x) = 6x⁴ + x³ + 3x² + x – 98 e Q(x) = x + 2 e sabendo que P(x) é divisível por Q(x), o polinômio que representa o quociente entre P(x) e Q(x), ou seja, P(x) : Q(x) é: 

Simplifique a seguinte expressão algébrica:
3xy + 7xy² − 6xy + 2xy³ − 10xy²

Seja b > 1 um número inteiro fixado e a₀, a₁, a₂ ∈ {0, 1, ..., b −1} ⊂ ℤ. Escreveremos [a₀, a₁, a₂]_b para representar o número inteiro ℤ dado por
z = [a₀, a₁, a₂]_b = a₀ + a₁b + a₂b ²
Com base no enunciado e nos conhecimentos sobre operações com números inteiros e equações polinomiais de segundo grau, assinale a alternativa correta.

Se todos os 9 termos provenientes do desenvolvimento de (x²/y + y²/x)⁸ forem escritos na forma T_i = a_i ^. x^{m .} y^{n expoentes de x decrescendo, em que m e n são, respectivamente, os expoentes inteiros de x e y, i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} é o indicador da posição de cada termo no desenvolvimento e a}_i ^{é o respectivo coeficiente, é correto afirmar que m e n serão simultaneamente positivos apenas para i igual a}

A fórmula resolutiva para equações polinomiais de 2º grau, popularmente conhecida como “Fórmula de Báscara”, é, sem dúvida, a técnica mais usada nesse tipo de problema. Entretanto, é possível resolvê-las por meio de fatorações. Nesse caso, o trinômio quadrado perfeito é um grande aliado.
Por exemplo, na equação polinomial do 2º grau
3x² - 7x = π
o primeiro membro pode ser transformado em um trinômio quadrado perfeito pela adição, em ambos os lados da igualdade, do número